Условие
По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри,
катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса.
Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
Решение
Рассмотрим два положения подвижной окружности:
в первый момент, когда точка K попадает на неподвижную окружность
(точку касания окружностей в этот момент мы обозначим через K1),
и какой-нибудь другой (второй) момент.
Пусть O — центр неподвижной
окружности, O1 и O2 — положения центра подвижной окружности
в первый и во второй моменты соответственно, K2 — положение
точки K во второй момент. A — точка касания окружностей во
второй момент. Поскольку окружность катится без проскальзывания, длина
дуги K1A равна длине дуги K2A. Так как радиус подвижной
окружности в два раза меньше,
K2O2A = 2K1OA. Точка O
лежит на подвижной окружности, поэтому
K2OA = K2O2A/2 = K1OA, т. е. точки K2, K1 и O лежат на одной
прямой.
Траектория движения — диаметр неподвижной окружности.
Источники и прецеденты использования
