Задача 56591

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямая KL параллельна CC₁, причем точки K и L лежат на прямых BC и B₁C₁ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁KL лежит на прямой AC.

Решение

Пусть точка M симметрична точке A₁ относительно прямой AC. Согласно задаче 1.57 точка M лежит на прямой B₁C₁. Поэтому  (LM, MA₁) = (C₁B₁, B₁A) = (C₁C, CB) = (LK, KA₁), т. е. точка M лежит на описанной окружности треугольника A₁KL. Следовательно, центр этой окружности лежит на прямой AC — серединном перпендикуляре к отрезку A₁M.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	5
Название	Четыре точки, лежащие на одной окружности
Тема	Четыре точки, лежащие на одной окружности
задача
Номер	02.048