По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

   Решение

n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
  а) При каких n это возможно, если   m = 9?
  б) При каких n и m это возможно?

   Решение

Для чисел а, b и с выполняется равенство  .  Следует ли из него, что  ?

   Решение

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите  AP² + BP² + CP² + DP².
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

   Решение

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите  AP² + BP² + CP² + DP².
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

Решение

Пусть  AOB = 2 и  COD = 2. Тогда  + = ADP + PAD = 90^o. Поэтому  (AP² + BP²) + (CP² + DP²) = AB² + CD² = 4R²(sin² + cos²) = 4R². Аналогично  BC² + AD² = 4R².

Источники и прецеденты использования