Условие
а) Из точки A проведены прямые, касающиеся
окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной
окружности треугольника ABC и центр его вневписанной
окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B
и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной
окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.
Решение
а) Пусть O — середина дуги окружности S, лежащей
внутри треугольника ABC.
Тогда
CBO = BCO, а по свойству угла
между касательной и хордой
BCO = ABO. Поэтому BO — биссектриса угла ABC, т. е. O — центр вписанной окружности
треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что середина дуги окружности S,
лежащей вне треугольника ABC, является центром его вневписанной
окружности.
б) Требуется доказать, что центр рассматриваемой окружности S
лежит на биссектрисе угла BAC. Пусть D — точка пересечения
биссектрисы этого угла с описанной окружностью треугольника ABC.
Тогда DB = DO = DC (см. задачу 2.4, а)), т. е. D -- центр
окружности S.
Источники и прецеденты использования
