Задача 56636

Тема:    [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

Решение

а) Пусть O — середина дуги окружности S, лежащей внутри треугольника ABC. Тогда  CBO = BCO, а по свойству угла между касательной и хордой  BCO = ABO. Поэтому BO — биссектриса угла ABC, т. е. O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что середина дуги окружности S, лежащей вне треугольника ABC, является центром его вневписанной окружности.
б) Требуется доказать, что центр рассматриваемой окружности S лежит на биссектрисе угла BAC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы этого угла с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда DB = DO = DC (см. задачу 2.4, а)), т. е. D -- центр окружности S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Вписанный угол (прочее)
задача
Номер	02.091