Задача 56653

Тема:    [ Окружности (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

Решение

Пусть $O$ – центр данной окружности. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания, значит, точка касания лежит на окружности, построенной на $OA$ как на диаметре. Поскольку такая окружность проходит через $O$, она пересекает данную окружность в двух точках; совокупность двух окружностей симметрична относительно их линии центров, значит, при симметрии одна касательная перейдёт во вторую (и наоборот)   следовательно, длины отрезков таких касательных равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	0
Название	Вводные задачи
Тема	Окружности (прочее)
задача
Номер	03.000.1