Задача 56661

Тема:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Условие

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что  AC ^. CB = Rr.

Решение

Пусть прямая AB касается окружностей с центрами O₁ и O₂ в точках C и D. Так как  O₁AO₂ = 90^o, прямоугольные треугольники AO₁C и O₂AD подобны. Поэтому  O₁C : AC = AD : DO₂. Кроме того, AD = CB (см. задачу 3.2). Следовательно,  AC ^. CB = Rr.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	1
Название	Касательные к окружностям
Тема	Прямые, касающиеся окружностей
задача
Номер	03.005