Задача 56662

Тема:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]

Сложность: 5 Классы: 7,8

Условие

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Решение

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O. Для определенности будем считать, что точки A и D принадлежат первой окружности, а B и C — второй, причем OB < OA (рис.). Точка M пересечения биссектрис углов A и D четырехугольника ABCD является серединой той дуги первой окружности, которая лежит внутри треугольника AOD, а точка N пересечения биссектрис углов B и C — серединой той дуги второй окружности, которая лежит вне треугольника BOC (см. задачу 2.91, а)). Четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда точки M и N совпадают.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	1
Название	Касательные к окружностям
Тема	Прямые, касающиеся окружностей
задача
Номер	03.006