Задача 56663
|
|
 |
Условие
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность
треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в
точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC
и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.
Решение
Пусть R — точка касания вневписанной окружности со
стороной BD, P и Q — точки пересечения отрезка MN с BC
и CD соответственно (рис.). Так как
DMQ =
BPN,
DQM =
BNP и
DMQ =
BNP, то
треугольники MDQ, PBN и PCQ равнобедренные. Поэтому
CP = CQ, DQ = DM = DR и BP = BN = BR. Следовательно, P, Q и R — точки касания
вписанной окружности треугольника BCD с его сторонами (см. задачу 5.1).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Окружности |
| Тема | Окружности |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Касательные к окружностям |
| Тема | Прямые, касающиеся окружностей |
| задача | |
| Номер | 03.007 |
