Условие
Даны окружность
S и точки
A и
B вне ее. Для
каждой прямой
l, проходящей через точку
A и пересекающей
окружность
S в точках
M и
N, рассмотрим описанную
окружность треугольника
BMN. Докажите, что все эти
окружности имеют общую точку, отличную от точки
B.
Решение
Пусть
C — точка пересечения прямой
AB с описанной
окружностью треугольника
BMN, отличная от точки
B;
AP — касательная к окружности
S. Тогда
AB . AC =
AM . AN =
AP2, а
значит,
AC =
AP2/
AB, т. е. точка
C одна и та же для всех прямых
l.
Замечание.
Следует исключить случай, когда длина касательной, проведенной из
A
к
S, равна
AB.
Источники и прецеденты использования
