Задача 56670

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

Решение

Пусть C — точка пересечения прямой AB с описанной окружностью треугольника BMN, отличная от точки B; AP — касательная к окружности S. Тогда  AB ^. AC = AM ^. AN = AP², а значит,  AC = AP²/AB, т. е. точка C одна и та же для всех прямых l.
Замечание. Следует исключить случай, когда длина касательной, проведенной из A к S, равна AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.013