ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56670
Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

Решение

Пусть C — точка пересечения прямой AB с описанной окружностью треугольника BMN, отличная от точки BAP — касательная к окружности S. Тогда  AB . AC = AM . AN = AP2, а значит,  AC = AP2/AB, т. е. точка C одна и та же для всех прямых l.
Замечание. Следует исключить случай, когда длина касательной, проведенной из A к S, равна AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 2
Название Произведение длин отрезков хорд
Тема Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер 03.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .