Задача 56671

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Решение

Ясно, что  MC² = MP ^. MQ = MA ^. MB, причем точка M лежит на луче AB, если AC > BC, и на луче BA, если AC < BC. Пусть для определенности точка M лежит на луче AB. Тогда  (MB + BC)² = (MB + BA) ^. MB. Следовательно,  MB = BC²/(AB - 2BC), а значит, положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.014