ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56671
Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Решение

Ясно, что  MC2 = MP . MQ = MA . MB, причем точка M лежит на луче AB, если AC > BC, и на луче BA, если AC < BC. Пусть для определенности точка M лежит на луче AB. Тогда  (MB + BC)2 = (MB + BA) . MB. Следовательно,  MB = BC2/(AB - 2BC), а значит, положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 2
Название Произведение длин отрезков хорд
Тема Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер 03.014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .