Условие
Из точки
A проведены касательные
AB и
AC
к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках
D
и
E;
M — середина отрезка
BC. Докажите, что
BM2 =
DM . ME
и угол
DME в два раза больше угла
DBE или угла
DCE; кроме того,
BEM =
DEC.
Решение
Пусть
O — центр окружности; точки
D' и
E'
симметричны точкам
D и
E относительно прямой
AO. Согласно
задаче
28.7 прямые
ED' и
E'D пересекаются в точке
M.
Поэтому
BDM =
EBM и
BEM =
DBM, а значит,
BDM 
EBM.
Следовательно,
BM :
DM =
EM :
BM. Кроме того, если
прямая
ED разделяет точки
B и
M, то
DME =
DE = 2
DCE.
Из равенства
BEM =
DBM следует, что
BEM =
DBC =
DEC.
Источники и прецеденты использования
