Информация о задаче

Задача 56687

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина отрезка BC. Докажите, что BM² = DM^.ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того, $\angle$ BEM = $\angle$ DEC.

Решение

Пусть O — центр окружности; точки D' и E' симметричны точкам D и E относительно прямой AO. Согласно задаче 28.7 прямые ED' и E'D пересекаются в точке M. Поэтому $\angle$ BDM = $\angle$ EBM и $\angle$ BEM = $\angle$ DBM, а значит, $\triangle$ BDM $\sim$ $\triangle$ EBM. Следовательно, BM : DM = EM : BM. Кроме того, если прямая ED разделяет точки B и M, то $\angle$ DME = $\smile$ DE = 2 $\angle$ DCE.
Из равенства $\angle$ BEM = $\angle$ DBM следует, что $\angle$ BEM = $\angle$ DBC = $\angle$ DEC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	5
Название	Две касательные, проведенные из одной точки
Тема	Две касательные, проведенные из одной точки
задача
Номер	03.030