Условие
Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB
(C и D — точки касания). Докажите, что прямая,
соединяющая P с точкой пересечения прямых AC и BD,
перпендикулярна AB.
Решение
Обозначим точки пересечения прямых AC и BD, BC
и AD через K и K1 соответственно. Согласно предыдущей
задаче
KK1 
AB, поэтому достаточно доказать, что точка
пересечения касательных в точках C и D лежит на прямой KK1.
Докажем, что касательная в точке C проходит через
середину отрезка KK1. Пусть M — точка пересечения касательной
в точке C и отрезка KK1. Стороны острых углов ABC и CKK1
соответственно перпендикулярны, поэтому они равны. Аналогично
CAB = CK1K. Ясно также, что
KCM = ABC, поэтому
треугольник CMK равнобедренный. Аналогично треугольник CMK1
равнобедренный и
KM = CM = K1M, т. е. M — середина отрезка KK1.
Аналогично доказывается, что касательная в точке D проходит
через середину отрезка KK1.
Источники и прецеденты использования
