Условие
Даны диаметр AB окружности и точка C, не лежащая
на прямой AB. С помощью одной линейки (без циркуля)
опустите перпендикуляр из точки C на AB, если:
а) точка C не лежит на окружности;
б) точка C лежит на окружности.
Решение
а) Прямая AC пересекает окружность в точках A
и A1, прямая BC — в точках B и B1. Если A = A1
(или B = B1), то прямая AC (или BC) — искомый перпендикуляр. Если
же это не так, то AB1 и BA1 являются высотами треугольника ABC
и искомая прямая — это прямая, проходящая через точку C и точку
пересечения прямых AB1 и BA1.
б) Возьмем точку C1, не лежащую на окружности, и опустим
из нее перпендикуляр на AB. Пусть он пересекается с окружностью
в точках D и E. Построим точку P пересечения прямых DC и AB,
а затем точку F пересечения прямой PE с окружностью. При
симметрии относительно AB точка C переходит в точку F.
Поэтому CF — искомый перпендикуляр.
Источники и прецеденты использования
