Условие
Даны диаметр
AB окружности и точка
C, не лежащая
на прямой
AB. С помощью одной линейки (без циркуля)
опустите перпендикуляр из точки
C на
AB, если:
а) точка
C не лежит на окружности;
б) точка
C лежит на окружности.
Решение
а) Прямая
AC пересекает окружность в точках
A
и
A1, прямая
BC — в точках
B и
B1. Если
A =
A1
(или
B =
B1), то прямая
AC (или
BC) — искомый перпендикуляр. Если
же это не так, то
AB1 и
BA1 являются высотами треугольника
ABC
и искомая прямая — это прямая, проходящая через точку
C и точку
пересечения прямых
AB1 и
BA1.
б) Возьмем точку
C1, не лежащую на окружности, и опустим
из нее перпендикуляр на
AB. Пусть он пересекается с окружностью
в точках
D и
E. Построим точку
P пересечения прямых
DC и
AB,
а затем точку
F пересечения прямой
PE с окружностью. При
симметрии относительно
AB точка
C переходит в точку
F.
Поэтому
CF — искомый перпендикуляр.
Источники и прецеденты использования
