Задача 56694

Тема:    [ Применение теоремы о высотах треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

Решение

Так как  PA O_bO_c, то прямая PA проходит через точку O_a тогда и только тогда, когда прямая PO_a проходит через точку пересечения высот треугольника O_aO_bO_c. Аналогичные утверждения верны и для точек B и C. Из условия задачи следует, что P — точка пересечения высот треугольника O_aO_bO_c, а значит,  PO_c O_aO_b.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	6
Название	Применение теоремы о высотах треугольника
Тема	Применение теоремы о высотах треугольника
задача
Номер	03.037