ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56699
Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA.

Решение

а) Пусть O и O1 — центры окружностей S и S1. Треугольники MO1N и PON равнобедренные, причем  $ \angle$MO1N = $ \angle$PON. Следовательно, точки P, M и N лежат на одной прямой.
б) Ясно, что  PQ2 = PM . PN = PM . (PM + MN). Пусть K — середина хорды AB. Тогда  PM2 = PK2 + MK2 и  PM . MN = AM . MB = AK2 - MK2. Поэтому  PQ2 = PK2 + AK2 = PA2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 8
Название Окружности, вписанные в сегмент
Тема Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер 03.042

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .