Задача 56699

Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S₁ касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S₁ равна PA.

Решение

а) Пусть O и O₁ — центры окружностей S и S₁. Треугольники MO₁N и PON равнобедренные, причем  MO₁N = PON. Следовательно, точки P, M и N лежат на одной прямой.
б) Ясно, что  PQ² = PM ^. PN = PM ^. (PM + MN). Пусть K — середина хорды AB. Тогда  PM² = PK² + MK² и  PM ^. MN = AM ^. MB = AK² - MK². Поэтому  PQ² = PK² + AK² = PA².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.042