Информация о задаче

Задача 56704

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

Решение

Решение этой задачи обобщает решение предыдущей задачи. Достаточно доказать, что центр O₁ вписанной окружности треугольника ABC₁ лежит на отрезке M₂N₁. Пусть A₁ и A₂ — середины дуг BC₁ и BC₂, B₁ и B₂ — середины дуг AC₁ и AC₂; PQ — диаметр окружности S, перпендикулярный хорде AB, причем Q и C₁ лежат по одну сторону от прямой AB. Точка O₁ является точкой пересечения хорд AA₁ и BB₁, а точка L касания окружностей S и S₁ является точкой пересечения прямых A₁N₁ и B₂M₂ (рис.). Пусть $\angle$ C₁AB = 2 $\alpha$ , $\angle$ C₁BA = 2 $\beta$ , $\angle$ C₁AC₂ = 2 $\varphi$ . Тогда $\smile$ A₁A₂ = 2 $\varphi$ = $\smile$ B₁B₂, т. е. A₁B₂ || B₁A₂. Угол между хордами A₁B₂ и BC₁ равен ( $\smile$ B₂C₁ + $\smile$ A₁B)/2 = $\beta$ - $\varphi$ + $\alpha$ , а угол между хордами BC₁ и AC₂ равен ( $\smile$ C₁C₂ + $\smile$ AB)/2 = 2 $\varphi$ + 180^o - 2 $\alpha$ - 2 $\beta$ . Поэтому хорда M₂N₁ образует с касательными BC₁ и AC₂ равные углы $\alpha$ + $\beta$ - $\varphi$ , а значит, M₂N₁ || A₁B₂.
Предположим теперь, что точки M₂' и N₁' перемещаются по хордам AC₂ и BC₁ так, что M₂'N₁' || A₁B₂. Пусть прямые A₁N₁' и B₂M₂' пересекаются в точке L'. Точка L' лежит на окружности S лишь при одном положении точек M₂' и N₁'. Поэтому достаточно указать на дуге AB такую точку L₁, что если M₂'', N₁'' — точки пересечения хорд AC₂ и L₁B₂, BC₁ и L₁A₁, то M₂''N₁'' || A₁B₂ и точка O₁ лежит на отрезке M₂''N₁''. Пусть Q₁ — такая точка окружности S, что 2 $\angle$ (PQ, PQ₁) = $\angle$ (PC₂, PC₁), и L₁ — точка пересечения прямой Q₁O₁ с окружностью S. Докажем, что точка L₁ искомая. Так как $\smile$ B₁Q = 2 $\alpha$ , то $\smile$ B₂Q₁ = 2( $\alpha$ - 2 $\varphi$ ) = $\smile$ C₂A₁. Поэтому четырехугольник AM₂''O₁L₁ вписанный, а значит, $\angle$ M₂''O₁A = $\angle$ M₂''L₁A = $\angle$ B₂A₁A, т. е. M₂''O₁ || B₂A₁. Аналогично N₁''O₁ || B₂A₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.046