Задача 56707

Тема:    [ Окружности (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Условие

Две окружности имеют радиусы R₁ и R₂, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d² = R₁² + R₂².

Решение

Пусть окружности с центрами O₁ и O₂ проходят через точку A. Радиусы O₁A и O₂A перпендикулярны касательным к окружностям в точке A, поэтому окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  O₁AO₂ = 90^o, т. е.  O₁O₂² = O₁A² + O₂A².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	9
Название	Разные задачи
Тема	Окружности (прочее)
задача
Номер	03.047