Задача 56719

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, r₁ и r₂ — их радиусы. Окружность S радиуса r с центром O ортогональна окружности S_i тогда и только тогда, когда  r² = OO_i² - r_i², т. е. квадрат радиуса окружности S равен степени точки O относительно окружности S_i. Поэтому множеством центров искомых окружностей является множество тех точек радикальной оси, степени которых относительно данных окружностей положительны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.057