Задача 56720

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

Решение

а) Указанные точки лежат на радикальной оси.
б) Точки касания внешних касательных с окружностями являются вершинами трапеции ABCD с основанием AB. Середины боковых сторон AD и BC принадлежат радикальной оси, поэтому середина O диагонали AC тоже принадлежит радикальной оси. Если прямая AC пересекает окружности в точках A₁ и C₁, то  OA₁ ^. OA = OC₁ ^. OC, а значит, OA₁ = OC₁ и AA₁ = CC₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.058