ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56725
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка A'. Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Обозначим через B' и C' точки пересечения прямых A'M и A'N с прямой, проведенной через точку A параллельно BC (рис.). Так как треугольники A'BM и A'NC равнобедренные, то  $ \triangle$ABC = $ \triangle$A'B'C'. Поскольку  AM . BM = A'M . B'M, степени точки M относительно окружностей S и S', описанных около треугольников ABC и A'B'C' соответственно, равны. Это верно и для точки N, поэтому прямая MN является радикальной осью окружностей S и S'. Окружности S и S' имеют одинаковые радиусы, поэтому их радикальная ось является их осью симметрии. Точка A', лежащая на окружности S', при симметрии относительно прямой MN переходит в точку, лежащую на окружности S.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .