Условие
На стороне BC треугольника ABC взята точка A'.
Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB
в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C
пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка,
симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Обозначим через B' и C' точки пересечения
прямых A'M и A'N с прямой, проведенной через точку A
параллельно BC (рис.). Так как треугольники A'BM и A'NC
равнобедренные, то
ABC = A'B'C'. Поскольку
AM . BM = A'M . B'M, степени точки M относительно окружностей S
и S', описанных около треугольников ABC и A'B'C' соответственно,
равны. Это верно и для точки N, поэтому прямая MN является
радикальной осью окружностей S и S'. Окружности S и S' имеют
одинаковые радиусы, поэтому их радикальная ось является их осью
симметрии. Точка A', лежащая на окружности S', при симметрии
относительно прямой MN переходит в точку, лежащую на окружности S.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
3 |
|
Название |
Окружности |
|
Тема |
Окружности |
|
параграф |
|
Номер |
10 |
|
Название |
Радикальная ось |
|
Тема |
Радикальная ось |
|
задача |
|
Номер |
03.062 |
