Задача 56725

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка A'. Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Обозначим через B' и C' точки пересечения прямых A'M и A'N с прямой, проведенной через точку A параллельно BC (рис.). Так как треугольники A'BM и A'NC равнобедренные, то  ABC = A'B'C'. Поскольку  AM ^. BM = A'M ^. B'M, степени точки M относительно окружностей S и S', описанных около треугольников ABC и A'B'C' соответственно, равны. Это верно и для точки N, поэтому прямая MN является радикальной осью окружностей S и S'. Окружности S и S' имеют одинаковые радиусы, поэтому их радикальная ось является их осью симметрии. Точка A', лежащая на окружности S', при симметрии относительно прямой MN переходит в точку, лежащую на окружности S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.062