ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56728
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Прямые AB и A1B1BC и B1C1CA и C1A1 пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

а) Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC, поэтому степени точки A' относительно описанных окружностей треугольников A1B1C1 и ABC равны степени точки A' относительно этой окружности. Значит, точка A' лежит на радикальной оси окружности Эйлера и описанной окружности треугольника ABC. Для точек B' и C' доказательство аналогично.
б) Рассмотрим треугольник A1B1C1, образованный внешними биссектрисами треугольника ABC (треугольник A1B1C1 остроугольный). Согласно задаче а) точки A', B' и C' лежат на радикальной оси описанных окружностей треугольников ABC и A1B1C1. Радикальная ось этих окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры, т. е. прямой Эйлера треугольника A1B1C1. Остается заметить, что точка пересечения высот треугольника A1B1C1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC (см. задачу 1.56, а)).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.065

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .