Задача 56728

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

а) Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому степени точки A' относительно описанных окружностей треугольников A₁B₁C₁ и ABC равны степени точки A' относительно этой окружности. Значит, точка A' лежит на радикальной оси окружности Эйлера и описанной окружности треугольника ABC. Для точек B' и C' доказательство аналогично.
б) Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁, образованный внешними биссектрисами треугольника ABC (треугольник A₁B₁C₁ остроугольный). Согласно задаче а) точки A', B' и C' лежат на радикальной оси описанных окружностей треугольников ABC и A₁B₁C₁. Радикальная ось этих окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры, т. е. прямой Эйлера треугольника A₁B₁C₁. Остается заметить, что точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁ является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC (см. задачу 1.56, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.065