ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56729
Темы:    [ Радикальная ось ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
Название задачи: Теорема Брианшона.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Решение

Пусть выпуклый шестиугольник ABCDEF касается окружности в точках  R, Q, T, S, P, U (точка R лежит на ABQ — на BC и т. д.).
Выберем произвольное число a > 0 и построим на прямых BC и EF точки Q' и P' так, что QQ' = PP' = a, а векторы  $ \overrightarrow{QQ'}$ и  $ \overrightarrow{PP'}$ сонаправлены с векторами  $ \overrightarrow{CB}$ и  $ \overrightarrow{EF}$. Аналогично строим точки  R', S', T', U' (рис.;  RR' = SS' = TT' = UU' = a). Построим окружность S1, касающуюся прямых BC и EF в точках Q' и P'. Аналогично построим окружности S2 и S3.
Докажем, что точки B и E лежат на радикальной оси окружностей S1 и S2 BQ' = QQ' - BQ = RR' - BR = BR' (если QQ' < BQ, то  BQ' = BQ - QQ' = BR - RR' = BR') и  EP' = EP + PP' = ES + SS' = ES'. Аналогично доказывается, что прямые FC и AD являются радикальными осями окружностей S1 и S3S2 и S3 соответственно. Так как радикальные оси трех окружностей пересекаются в одной точке, прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.066

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .