ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56731
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S1 относительно окружности S2 равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите, что  | pa| SBCD = | pb| SACD.

Решение

а) Рассмотрим систему координат с началом O в середине отрезка, соединяющего центры окружностей, а ось Ox направим вдоль этого отрезка. Пусть точка P имеет координаты (x, y); R и r — радиусы окружностей S1 и S2a = d /2. Тогда  (x + a)2 + y2 = R2 и  p = (x - a)2 + y2 - r2 = ((x + a)2 + y2 - R2) - 4ax - r2 + R2 = R2 - r2 - 4ax.
Пусть точка A имеет координаты (x0, y0). Тогда  (x0 + a)2 + y02 - R2 = (x0 - a)2 + y02 - r2, т. е.  x0 = (R2 - r2)/4a. Поэтому  2dh = 4a| x0 - x| = | R2 - r2 - 4ax| = | p|.
б) Пусть d — расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ACD и BCDha и hb — расстояния от точек A и B до прямой CD. Согласно задаче а)  | pa| = 2dha и  | pb| = 2dhb. Учитывая, что  SBCD = hbCD/2 и  SACD = haCD/2, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.068

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .