Задача 56731

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны p_a и p_b. Докажите, что  | p_a| S_BCD = | p_b| S_ACD.

Решение

а) Рассмотрим систему координат с началом O в середине отрезка, соединяющего центры окружностей, а ось Ox направим вдоль этого отрезка. Пусть точка P имеет координаты (x, y); R и r — радиусы окружностей S₁ и S₂; a = d /2. Тогда  (x + a)² + y² = R² и  p = (x - a)² + y² - r² = ((x + a)² + y² - R²) - 4ax - r² + R² = R² - r² - 4ax.
Пусть точка A имеет координаты (x₀, y₀). Тогда  (x₀ + a)² + y₀² - R² = (x₀ - a)² + y₀² - r², т. е.  x₀ = (R² - r²)/4a. Поэтому  2dh = 4a| x₀ - x| = | R² - r² - 4ax| = | p|.
б) Пусть d — расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ACD и BCD; h_a и h_b — расстояния от точек A и B до прямой CD. Согласно задаче а)  | p_a| = 2dh_a и  | p_b| = 2dh_b. Учитывая, что  S_BCD = h_bCD/2 и  S_ACD = h_aCD/2, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.068