Задача 56732

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

Решение

Две окружности задают радикальную ось, поэтому а) следует из б). Пусть задана окружность S с центром O и радиусом R и прямая l. Окружность S₁ с центром O₁ и радиусом R₁ и окружность S имеют радикальную ось l тогда и только тогда, когда точка O₁ лежит на прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку O, а кроме того, для любой точки A прямой l выполняется равенство AO² - R² = AO₁ - R₁², т.е. R₁² = AO₁² - AO² + R². Легко видеть, что все окружности, центры которых лежат на указанной прямой, а радиусы удовлетворяют указанному соотношению, образуют пучок. Действительно, если AO² - R² = AO₁ - R₁² и AO² - R² = AO₂ - R₂², то AO₁² - R₁² = AO₂ - R₂², поэтому прямая l служит радикальной осью окружностей S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	11
Название	Пучки окружностей
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.070B