Задача 56736

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

Решение

Пусть S — окружность с центром O и радиусом R, S₁ — окружность с центром O₁ и радиусом R₁. Ортогональность этих окружностей эквивалентна тому, что OO₁² = R² + R₁². Степень точки O относительно окружности S₁ равна OO₁² - R₁², поэтому ортогональность окружностей S и S₁ эквивалентна тому, что степень точки O относительно окружности S₁ равна R².
Предположим, что окружность S ортогональна окружностям S₁ и S₂. Тогда степень точки O относительно окружностей S₁ и S₂ равна R². Поэтому точка O лежит на их радикальной оси. Степень точки O относительно любой окружности пучка равна R².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	11
Название	Пучки окружностей
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.073B