На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?

   Решение

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD — точки C₁ и D₁, причем  AA₁ = BB₁ = pAB и  CC₁ = DD₁ = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что  S_A1B1C1D1/S_ABCD = 1 - 2p.

Решение

Согласно задаче 4.20  S_ABD1 + S_CDB1 = S_ABCD. Поэтому S_A1B1C1D1 = S_A1B1D1 + S_C1D1B1 = (1 - 2p)S_ABD1 + (1 - 2p)S_CDB1 = (1 - 2p)S_ABCD.

Источники и прецеденты использования