Условие
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
Решение
Обозначим площадь многоугольника через S. Пусть l – произвольная прямая. Введём систему координат, для которой прямая l является осью Ox. Пусть S(a) – площадь той
части многоугольника, которая лежит ниже прямой y = a. При изменении a от – ∞ до + ∞ S(a) непрерывно меняется от 0 до S, поэтому S(a) = S/2 для некоторого a, то есть прямая y = a делит площадь многоугольника пополам. Аналогично существует прямая, перпендикулярная l и делящая площадь многоугольника пополам. Эти две прямые разбивают многоугольник на части, площади которых
равны S1, S2, S3 и S4 (см. рис.). Так как S1 + S2 = S3 + S4 и S1 + S4 = S2 + S3, то S1 = S3 = A и S2 = S4 = B. При повороте прямой l на 90° A заменится на B, а B – на A. Так как A и B изменяются при повороте l непрерывно, то A = B для некоторого положения прямой l. При этом площади всех четырёх фигур равны.
Источники и прецеденты использования
