Задача 56789

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Решение

Обозначим площадь многоугольника через S. Пусть l — произвольная прямая. Введем систему координат, для которой прямая l является осью Ox. Пусть S(a) — площадь той части многоугольника, которая лежит ниже прямой y = a. При изменении a от - до +  S(a) непрерывно меняется от 0 до S, поэтому S(a) = S/2 для некоторого a, т. е. прямая y = a делит площадь многоугольника пополам. Аналогично существует прямая, перпендикулярная l и делящая площадь многоугольника пополам. Эти две прямые разбивают многоугольник на части, площади которых равны  S₁, S₂, S₃ и S₄ (рис.). Так как  S₁ + S₂ = S₃ + S₄ и  S₁ + S₄ = S₂ + S₃, то S₁ = S₃ = A и S₂ = S₄ = B. При повороте прямой l на  90^o A заменится на B, а B — на A. Так как A и B изменяются при повороте l непрерывно, то для некоторого положения прямой A = B, т. е. площади всех четырех фигур равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	6
Название	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
Тема	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
задача
Номер	04.038