Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

   Решение

Тема:    [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Проведенные отрезки являются высотами треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Пусть P, Q и R — точки пересечения высот этих треугольников, а O — точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁ (рис.). Рассматриваемый шестиугольник состоит из треугольника A₁B₁C₁ и треугольников  B₁C₁P, C₁A₁Q и A₁B₁R. Ясно, что B₁C₁P = C₁B₁O,C₁A₁Q = A₁C₁O и  A₁B₁R = B₁A₁O. Поэтому площадь рассматриваемого шестиугольника равна удвоенной площади треугольника A₁B₁C₁. Остается заметить, что  S_ABC = 4S_A1B1C1.

Источники и прецеденты использования