Задача 56837

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что  uv/w² = sin²(A/2).

Решение

Данная окружность может быть как вписанной, так и вневписанной окружностью треугольника ABC, отсекаемого касательной от угла. Используя результат задачи 3.2, в обоих случаях легко проверить, что  uv/w² = (p - b)(p - c)sin B sin C/h_a². Остается заметить, что  h_a = b sin C = c sin B и  (p - b)(p - c)/bc = sin²(A/2) (задача 12.13).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.008