ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56837
Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что  uv/w2 = sin2(A/2).

Решение

Данная окружность может быть как вписанной, так и вневписанной окружностью треугольника ABC, отсекаемого касательной от угла. Используя результат задачи 3.2, в обоих случаях легко проверить, что  uv/w2 = (p - b)(p - c)sin B sin C/ha2. Остается заметить, что  ha = b sin C = c sin B и  (p - b)(p - c)/bc = sin2(A/2) (задача 12.13).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 1
Название Вписанная и описанная окружности
Тема Вписанные и описанные окружности
задача
Номер 05.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .