Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные проекции ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 8+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы, M — точка их пересечения, A₊, B_-, C₊, A_-, B₊, C_- — центры описанных окружностей треугольников B₁MC, CMA₁, A₁MB, BMC₁, C₁MA, AMB₁. Проекции точек B₊ и B_- на прямую AA₁ являются серединами отрезков AM и MA₁. Поэтому проекция вектора на прямую AA₁ равна . Аналогично проекция этого вектора на прямую CC₁ равна . Аналогичные утверждения верны и для векторов и .
Сумма векторов , и равна нулевому вектору (задача 13.1), поэтому существует треугольник A₂B₂C₂, для которого = , = и = . Для любой точки X вектор полностью определяется проекциями на прямые B₂A₂ и B₂C₂. С другой стороны, вектор , где O — центр описанной окружности треугольника A₂B₂C₂, имеет такие же проекции на эти прямые, как и вектор . Следовательно, длины векторов , и равны (они равны радиусу описанной окружности треугольника A₂B₂C₂).
Противоположные стороны шестиугольника A₊B_-C₊A_-B₊C_- параллельны, а его диагонали A₊A_-, B₊B_- и C₊C_- равны. Согласно задаче 6.55B такой шестиугольник вписанный.

Источники и прецеденты использования