Условие
Дана трапеция
ABCD с основанием
AD. Биссектрисы
внешних углов при вершинах
A и
B пересекаются в точке
P, а при
вершинах
C и
D — в точке
Q. Докажите, что длина отрезка
PQ
равна половине периметра трапеции.
Решение
Пусть
M и
N — середины сторон
AB и
CD.
Треугольник
APB прямоугольный, поэтому
PM =
AB/2 и
MPA =
PAM, а значит,
PM|
AD. Аналогичные рассуждения
показывают, что точки
P,
M,
N и
Q лежат на одной прямой
и
PQ =
PM +
MN +
NQ = (
AB + (
BC +
AD) +
CD)/2.
Источники и прецеденты использования
