Задача 56855

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

Решение

Отрезки CF и DK являются биссектрисами подобных треугольников ACB и CDB, поэтому  AB : FB = CB : KB.  Следовательно,  FK || AC.  Аналогично доказывается, что  LF || CB.  Поэтому CLFK – прямоугольник, у которого диагональ CF является биссектрисой угла LCK, то есть он – квадрат.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	2
Название	Прямоугольные треугольники
Тема	Прямоугольные треугольники (прочее)
задача
Номер	05.021