Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

   Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

   Решение

Соедините точки А и В (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:
  1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
  2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
  3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

Решение

Пусть точка F делит отрезок BC в отношении CF : FB = 1 : 2; P и Q — точки пересечения отрезка AF с BD и CE соответственно. Ясно, что треугольник OPQ правильный. Используя результат задачи 1.3, легко проверить, что AP : PF = 3 : 4 и AQ : QF = 6 : 1. Следовательно,  AP : PQ : QF = 3 : 3 : 1, а значит, AP = PQ = OP. Поэтому  AOP = (180^o - APO)/2 = 30^o и  AOC = AOP + POQ = 90^o.

Источники и прецеденты использования