Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

   Решение

Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если  CC₁B₁ = 30^o, то либо  A = 60^o, либо  B = 120^o.

Решение

Так как  BB₁C = B₁BA + B₁AB > B₁BA = B₁BC, то BC > B₁C. Поэтому точка K, симметричная B₁ относительно биссектрисы CC₁, лежит на стороне BC, а не на ее продолжении. Так как  CC₁B = 30^o, то  B₁C₁K = 60^o, а значит, треугольник B₁C₁K правильный. В треугольниках BC₁B₁ и BKB₁ сторона BB₁ общая, стороны C₁B₁ и KB₁ равны, равны также и углы C₁BB₁ и KBB₁ но это углы не между равными сторонами. Поэтому возможны два случая:
1.  BC₁B₁ = BKB₁. Тогда  BB₁C₁ = BB₁K = 60^o/2 = 30^o. Следовательно, если O — точка пересечения биссектрис BB₁ и CC₁, то  BOC = B₁OC₁ = 180^o - OC₁B₁ - OB₁C₁ = 120^o. С другой стороны,  BOC = 90^o + A/2 (см. задачу 5.3), т. е.  A = 60^o.
2.  BC₁B₁ + BKB₁ = 180^o. Тогда четырехугольник BC₁B₁K вписанный, а так как треугольник B₁C₁K правильный, то  B = 180^o - C₁B₁K = 120^o.

Источники и прецеденты использования