Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

   Решение

Тема:    [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Решение

Пусть a₁ и b₁, a₂ и b₂ — катеты двух различных пифагоровых треугольников, c₁ и c₂ — их гипотенузы. Возьмем две перпендикулярные прямые и отложим на них отрезки OA = a₁a₂, OB = a₁b₂, OC = b₁b₂ и OD = a₂b₁ (рис.). Так как  OA ^. OC = OB ^. OD, то четырехугольник ABCD вписанный. Согласно задаче 2.71  4R² = OA² + OB² + OC² + OD² = (c₁c₂)², т. е.  R = c₁c₂/2. Увеличив, если нужно, четырехугольник ABCD в два раза, получим искомый четырехугольник.

Источники и прецеденты использования