Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

   Решение

Темы:    [ Треугольники (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что  AB₁ : B₁C = cⁿ : aⁿ,  BC₁ : C₁A = aⁿ : bⁿ  и  CA₁ : A₁B = bⁿ : cⁿ  (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что  

Решение

Пусть  a₁ = BA₁,  a₂ = A₁C,  b₁ = CB₁,  b₂ = B₁A,  c₁ = AC₁  и  c₂ = C₁B.  Произведения длин отрезков секущих, проходящих через одну точку, равны, поэтому   a₁(a₁ + x) = c₂(c₂ - z), то есть     Аналогично,     Домножим первое уравнение на b²ⁿ, второе – на с²ⁿ, третье – на a²ⁿ и сложим. Так как, например,  c₂bⁿ – c₁aⁿ = 0  по условию, то в правой части получим нуль. В левой части коэффициент при x равен     Поэтому  abⁿcⁿx + baⁿcⁿy + caⁿbⁿz = 0.  Поделив обе части равенства на (abc)ⁿ, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования