Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

   Решение

---

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

   Решение

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

Решение

Рассмотрим треугольник A₀B₀C₀, образованный прямыми  A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ (A₀ — точка пересечения прямых A₁B₂ и A₂C₁ и т. д.), и применим для него теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B₂, C₁), (B, C₂, A₁), (C, A₂, B₁), (A₁, B₁, C₁) и  (A₂, B₂, C₂). В результате получим

Перемножая эти равенства, получаем ^{. .} =1, а значит, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования