Информация о задаче

Задача 56914

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$ .

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Решение

а) Эта задача является переформулировкой задачи 5.58, так как число $\overline{BA_1}$ : $\overline{CA_1}$ имеет знак минус, если точка A₁ лежит на отрезке BC, и знак плюс, если она лежит вне отрезка BC.
б) Предположим сначала, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Любые три вектора плоскости линейно зависимы, т. е. существуют такие числа $\lambda$ , $\mu$ и $\nu$ (не все равные нулю), что $\lambda$ $\overrightarrow{AM}$ + $\mu$ $\overrightarrow{BM}$ + $\nu$ $\overrightarrow{CM}$ = 0. Рассмотрим проекцию на прямую BC параллельно прямой AM. При этой проекции точки A и M переходят в A₁, а точки B и C переходят сами в себя. Поэтому $\mu$ $\overline{BA_1}$ + $\nu$ $\overline{CA_1}$ = 0, т. е. $\overline{BA_1}$ : $\overline{CA_1}$ = - $\nu$ : $\mu$ . Аналогично $\overline{CB_1}$ : $\overline{AB_1}$ = - $\lambda$ : $\nu$ и $\overline{AC_1}$ : $\overline{BC_1}$ = - $\mu$ : $\lambda$ . Перемножая эти равенства, получаем требуемое. В случае, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны, для доказательства достаточно заметить, что $\overline{BA_1}$ : $\overline{CA_1}$ = $\overline{BA}$ : $\overline{C_1A}$ и $\overline{CB_1}$ : $\overline{AB_1}$ = $\overline{C_1B}$ : $\overline{AB}$ .
Предположим теперь, что выполняется указанное соотношение, и докажем, что тогда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Пусть C₁^* — точка пересечения прямой AB с прямой, проходящей через точку C и точку пересечения прямых AA₁ и BB₁. Для точки C₁^* выполняется такое же соотношение, как и для точки C₁. Поэтому $\overline{C_1^*A}$ : $\overline{C_1^*B}$ = $\overline{C_1A}$ : $\overline{C_1B}$ . Следовательно, C₁^* = C₁, т. е. прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
Можно проверить также, что если выполняется указанное соотношение и две из прямых AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны, то третья прямая им параллельна.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.070