Условие
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие
середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть диагонали AD и BE данного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке P; K и L —
середины сторон AB и ED. Так как ABDE — трапеция, отрезок KL
проходит через точку P (задача 19.2). По теореме синусов
sin APK : sin AKP = AK : AP
и
sin BPK : sin BKP = BK : BP. Так как
sin AKP = sin BKP
и AK = BK, то
sin APK : sin BPK = BP : AP = BE : AD.
Аналогичные соотношения можно записать и для отрезков, соединяющих
середины двух других пар противоположных сторон. Перемножая эти
соотношения и применяя результат задачи 5.78 к треугольнику,
образованному прямыми AD, BE и CF, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Треугольники |
|
параграф |
|
Номер |
8 |
|
Название |
Теорема Чевы |
|
Тема |
Теоремы Чевы и Менелая |
|
задача |
|
Номер |
05.080 |
