Информация о задаче

Задача 56930

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B₁C₁ вписанной окружности в точке A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Решение

Второе равенство из задачи 2.58, а) означает, что

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\sin A_2AC_1}{\sin A_2AB_1}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}\cdot \frac... ... B_2B_1A_1}{\sin B_2B_1C_1}\cdot \frac{\sin C_2C_1B_1}{\sin C_2C_1A_1}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin B_2B_1A_1}{\sin B_2B_1C_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin C_2C_1B_1}{\sin C_2C_1A_1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin A_2A_1C_1}{\sin A_2A_1B_1}\cdot \frac... ...A_1}{\sin B_2B_1C_1}\cdot \frac{\sin C_2C_1B_1}{\sin C_2C_1A_1}}\right)^{2}_{}$ =1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.082.1