Задача 56941

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда  (A₁B₁, PB₁) = (A₁C, PC) = BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB₁ имеют одно и то же направление.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.092