Информация о задаче

Задача 56943

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности с центром O, причем углы между вектором $\overrightarrow{OP}$ и векторами $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{OQ}$ равны $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )/2. Докажите. что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.

Решение

Если точка R данной окружности такова, что $\angle$ ( $\overrightarrow{OP}$ , $\overrightarrow{OR}$ ) = ( $\beta$ + $\gamma$ )/2, то OR $\perp$ BC. Остается проверить, что $\angle$ (OR, OQ) = $\angle$ (PA₁, A₁B₁). Но $\angle$ (OR, OQ) = $\alpha$ /2, a $\angle$ (PA₁, A₁B₁) = $\angle$ (PB, BC₁) = $\angle$ ( $\overrightarrow{OP}$ , $\overrightarrow{OA}$ )/2 = $\alpha$ /2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.094