а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

Решение

а) Опустим из точек P₁ и P₂ перпендикуляры P₁B₁ и P₂B₂ на AC и перпендикуляры P₁C₁ и P₂C₂ на AB. Докажем, что точки  B₁, B₂, C₁ и C₂ лежат на одной окружности. В самом деле,  P₁B₁C₁ = P₁AC₁ = P₂AB₂ = P₂C₂B₂, а так как  P₁B₁A = P₂C₂A, то  C₁B₁A = B₂C₂A. Центр окружности, на которой лежат указанные точки, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам B₁B₂ и C₁C₂, а оба эти перпендикуляра проходят через середину O отрезка P₁P₂, т. е. O — центр этой окружности. В частности, точки B₁ и C₁ равноудалены от точки O. Аналогично точки A₁ и B₁ равноудалены от точки O, т. е. O — центр описанной окружности треугольника A₁B₁C₁. Кроме того, OB₁ = OB₂.
Замечание. Если точка P₁ лежит на описанной окружности треугольника, то её подерная окружность вырождается в прямую, а именно, прямую Симсона точки P₁. Точка P₂, изогонально сопряжённая этой точке, в этом случае является бесконечно удалённой. Направление этой бесконечно удалённой точки перпендикулярно прямой Симсона точки P₁. Действительно, если точка P₂' стремится к точке P₂, то подерная окружность точки P₂' близка к окружности с диаметром P₂'X, где X — произвольная точка треугольника ABC.
б) Предыдущее доказательство проходит почти без изменений и в этом случае.
в) Пусть B₁ и C₁ — проекции точки P₁ на стороны AC и AB. Отрезок AP₁ является диаметром описанной окружности треугольника AB₁C₁. Пусть O — центр этой окружности (т.е. середина отрезка AP₁), K — середина отрезка AB₁, H — точка пересечения прямых AP₂ и B₁C₁. Тогда KOA = HC₁B и KAO = HAC₁. Поэтому AHC₁ = AKO = 90^o.

Источники и прецеденты использования