Условие
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точек
A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной
точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1,
C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке
(Штейнер).
Решение
Пусть перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1,
C1A1, A1B1 пересекаются в точке P. Проведём через вершины
треугольника ABC прямые, параллельные сторонам треугольника A1B1C1. В
результате получим треугольник A'B'C'. Пусть P' — точка, изогонально
сопряжённая точке P относительно треугольника A'B'C'. Согласно
задаче 5.104 в) прямые, соединяющие вершины треугольника A'B'C' с
точкой P', перпендикулярны сторонам треугольника ABC. Треугольник
A1B1C1 гомотетичен треугольнику A'B'C'; пусть P1 — образ точки
P' при соответствующей гомотетии. Тогда прямые, соединяющие вершины
треугольника A1B1C1 с точкой P1, перпендикулярны сторонам
треугольника ABC, т.е. P1 — искомая точка.
Источники и прецеденты использования
