Информация о задаче

Задача 56984

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S₁ проходит через точки A и B и касается прямой AC, окружность S₂ проходит через точки A и C и касается прямой AB. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника ABC.

Решение

Пусть AP — общая хорда рассматриваемых окружностей, Q — точка пересечения прямых AP и BC. Тогда BQ/AB = sin BAQ/sin AQB и AC/CQ = sin AQC/sin CAQ. Значит, BQ/CQ = AB sin BAP/AC sin CAP. Так как AC и AB — касательные к окружностям S₁ и S₂, то $\angle$ CAP = $\angle$ ABP и $\angle$ BAP = $\angle$ ACP, а значит, $\angle$ APB = $\angle$ APC. Поэтому

$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AP}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AP}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin APB}{\sin ABP}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin ACP}{\sin APC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACP}{\sin ABP}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BAP}{\sin CAP}}$ .

Следовательно, BQ/CQ = AB²/AC².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.128