Задача 56987

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.

Решение

Пусть  B₁C₁, C₂A₂ и A₃B₃ — данные отрезки. Тогда треугольники  A₂XA₃, B₁XB₃ и C₁XC₂ равнобедренные; пусть длины их боковых сторон равны a, b и c. Прямая AX делит отрезок B₁C₁ пополам тогда и только тогда, когда эта прямая содержит симедиану. Поэтому если X — точка Лемуана, то a = b, b = c и c = a. А если  B₁C₁ = C₂A₂ = A₃B₃, то  b + c = c + a = a + b, а значит, a = b = c.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.131