Задача 56994

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 7 Классы: 9

Условие

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Решение

Пусть K — точка Лемуана треугольника ABC; A₁, B₁ и C₁ — проекции точки K на стороны треугольника ABC; L — середина отрезка B₁C₁; N — точка пересечения прямой KL и медианы AM; O — середина отрезка AK (рис.). Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AK, поэтому согласно задаче 5.132  OL B₁C₁. Кроме того,  AN B₁C₁ (задача 5.133) и O -- середина отрезка AK, а значит, OL — средняя линия треугольника AKN и KL = LN. Следовательно, K — середина отрезка A₁N. Остается заметить, что при гомотетии с центром M, переводящей N в A, отрезок NA₁ переходит в высоту AH.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.135