Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же зарплату?

   Решение

Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)

   Решение

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, R — ее радиус, a — длина хорд, высекаемых окружностью на сторонах четырехугольника. Тогда расстояния от точки O до сторон четырехугольника равны  , т. е. она равноудалена от сторон четырехугольника и является центром вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования