Задача 57018

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

Решение

Пусть лучи AB и DC пересекаются в точке P, лучи BC и AD — в точке Q; данные прямые, проходящие через точки P и Q, пересекаются в точке O. Согласно задаче 6.9 BP + BQ = OP + OQ и  OP + OQ = DP + DQ. Следовательно, BP + BQ = DP + DQ, а значит, четырехугольник ABCD описанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.010