Условие
На стороне BC треугольника ABC взяты точки K1 и K2. Докажите, что
общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK1 и
ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK2
и ACK1 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть O — точка пересечения общих внешних касательных к
вписанным окружностям треугольников ABK1 и ACK2 (рис.).
Проведем из точки O касательную l к вписанной окружности
треугольника, образованного прямыми AK1, AK2 и касательной
к вписанным окружностям треугольников ABK1 и ACK2,
отличной от прямой BC. Пусть прямая l пересекает прямые AB
и AK2 в точках B' и K2'. Согласно задаче 6.12
четырехугольник
BK2K2'B' описанный. Это означает, что прямая
l касается вписанной окружности треугольника ABK2.
Аналогично доказывается, что прямая l касается вписанной
окружности треугольника ACK1.
Источники и прецеденты использования
