Условие
На стороне
BC треугольника
ABC взяты точки
K1 и
K2. Докажите, что
общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников
ABK1 и
ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников
ABK2
и
ACK1 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть
O — точка пересечения общих внешних касательных к
вписанным окружностям треугольников
ABK1 и
ACK2 (рис.).
Проведем из точки
O касательную
l к вписанной окружности
треугольника, образованного прямыми
AK1,
AK2 и касательной
к вписанным окружностям треугольников
ABK1 и
ACK2,
отличной от прямой
BC. Пусть прямая
l пересекает прямые
AB
и
AK2 в точках
B' и
K2'. Согласно задаче
6.12
четырехугольник
BK2K2'
B' описанный. Это означает, что прямая
l касается вписанной окружности треугольника
ABK2.
Аналогично доказывается, что прямая
l касается вписанной
окружности треугольника
ACK1.
Источники и прецеденты использования
